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数形结合思想的历史发展及其思维意蕴与教学价值

《课程标准(2011年版)》在“教材编写建议”中指出:“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程,逐步理解和掌握的,如分数、函数、概率、数形结合、逻辑推理、模型思想等。”这就明确了“数形结合”思想之于数学学习的重要价值以及逐步理解和掌握的过程特征。查阅相关文献发现,研究者对“数形结合”思想中“数”和“形”所指为何物,理解并不相同。例如,刘加霞教授在《“数形结合”思想的内涵、发展及其在小学数学教学中的渗透》一文中指出:“‘数’主要是指数、数量关系式、运算式、函数、关系式、方程等,其核心是抽象的代数式、函数解析式、方程;‘形’则主要指几何图形与直角坐标系下的函数图像,对于‘几何图形’,我们考虑的是几何图形的形状与大小,例如有几条边、几个角、各边之间的位置关系、边的长度与所围图形的面积等度量特征。对于函数图像,我们考虑的是图像的发展趋势、增长(下跌)的快慢、弯曲程度等。”也有人认为,“数”指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式;“形”不仅仅指几何图形,还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料,以及用这些材料呈现数学信息的方式。我们认为,从小学数学教学的实际来看,如何理解“数”与“形”的内涵当然重要,而能从“数”与“形”紧密联系、互相解释和相互转化的角度认识和思考问题可能更加重要。
《课程标准(2011年版)》中在“课程内容”中也提出“几何直观”,“数形结合”与“几何直观”又有怎样的关系?显然,这两个概念都以图形作为对象,凸显了几何图形在数学课程以及数学学习中的重要价值。但“几何直观”是以图形为研究问题的载体,更多指向“直观”;而数形结合,“形”只是研究问题的一个方面,可能是“以形助数”,也可能是“以数解形”,更突出的应是二者的“结合”。但“结合”的目的也最终是为了形成数学直观能力。
总之,相关的概念内涵和逻辑关联可以在以后的教育研究中慢慢澄清,但教学却需要从当下就做起──这就是本期我们组织“数形结合思想与小学数学教学”专题研讨的立意所在。
 
数学的对象是客观世界中各类事物的量,而事物的量主要就是其“形”与“数”。因此,要完整地研究事物的量就必须把其“形”与“数”结合起来。但是,这种“数”与“形”的结合,在数学发展史上却并不是始终如一的顺畅与一致。
一、数形结合思想的历史发展
在此,我们将仅从数学发展史上的“三次危机”来考察“数形结合思想”的历史发展。首先是第一次数学危机,即所谓的“不可公度”问题。初等几何中第一个重要的定理就是我们大家所熟知的勾股定理,即古希腊人所谓的“毕达哥拉斯定理”──“在任何直角三角形中,斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和”。尤其是当直角三角形是等腰三角形时,其斜边的平方等于2倍的直角边的平方;更为甚者,当等腰直角三角形的直角边是单位长度1时,我们便会有:斜边的平方等于2(单位长度的平方)。与此同时,在当时(其实也是现在)的实际测量中,我们只需要有理数(包括所有整数与分数)就足够了,而且,人们(包括当时的数学家与现在的普通大众)一般都会认为,有理数所对应的点填满了整个数轴。可是,我们却可以证明:无论如何,直角边为单位长度的等腰直角三角形的斜边也无法表示为有理数(即两个互质的整数之比)。这显然与“直角三角形的斜边可以在数轴上得到表示”相矛盾。这就是数学史上的第一次危机──不可公度问题──与古希腊人的直观“公度”信念(即,给定任何两条线段,必定能够找到第三条线段,使得给定的两条线段都是该线段的整数倍)相悖。它直接导致了“无理数的发现”──由“形”而“数”,以及我们对数轴的更为深刻的认识──由“数”而“形”──可谓是“数形结合思想”的典范。
其次是第二次数学危机,即所谓的“无穷小”问题。微积分的发明充满了矛盾。譬如,牛顿在计算“流数”(即导数)时,作除法时无穷小不为0,而作加法时无穷小则为0——这显然不可理喻!简直就是“翻手为云,覆手为雨”。再譬如,当计算S=1-1+1-1+1-1+1-1+…=?时,我们可以如此计算:
S=1-1+1-1+1-1+1-1+…=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0也可以如此考虑:S=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1-[(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+…]=1更可以如此变换:S=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+…)=1-S,S=1/2。
怎么办?如何选择?其实,当时的社会经济发展需要解决大量的实际问题,而这些实际问题都是关于事物的量的问题(即“形”与“数”的结合问题),譬如,物体运动的速度问题(物体运动的轨迹是“形”,而其运动速度之大小则是“数”)、形体曲线的长度问题(形体曲线是“形”,而其长度之大小则是“数”)等。概而言之,第二次数学危机的实质是微积分基础的不稳固(缺乏逻辑性)与微积分及其相关发展(譬如,微分方程、无穷级数等)的实际运用以及由此而引发的科学发现与技术革新(譬如,天文学、力学、光学、热学等)之间所形成的巨大反差。它直接导致了实数理论的建构──加深了我们对数轴的理解,以及数学分析(微积分是其基础与核心)的算术化(即逻辑严密化)──由“数”而“形”,以及由“形”而“数”,可谓“数形结合”思想的佳品。
再次是第三次数学危机,即所谓的“罗素悖论”问题。19世纪末,康托尔所创立的集合论已得到数学界的广泛认可,并成功应用于数学的几乎所有分支学科──集合论是数学的基础,由于集合论的使用,数学似乎已经达到了“绝对的严格”。通常我们都认可,一个集合或者是它本身的元素,或者不是它本身的元素。譬如,所有集合的集合本身是一个集合,而所有人的集合其本身不是一个人。罗素于1902年提出:所有不是其自身元素的集合所构成的集合,是不是其本身的元素?如果“所有不是其自身元素的集合所构成的集合”是其本身的元素,那么这就与“不是其自身元素的集合”相矛盾;如果“所有不是其自身元素的集合所构成的集合”不是其自身的元素,那么“依据定义”它就应该是其本身的一个元素,这也是相互矛盾的──这就是所谓的“罗素悖论”。就其实质而言,第三次数学危机促使数学家开始真正思考这样一个问题:数学究竟应该建构在什么样的基础之上?它直接导致了公理集合论的建构,以及关于“数学基础”研究的三大学派的建立──逻辑主义,代表人物是罗素与怀特海,其基本观点是“数学即逻辑”,即“逻辑是数学的青年时代,数学是逻辑的壮年时代”;直觉主义,代表人物是克罗内克,其基本观点是“承认潜无限概念而否定实无限概念”,譬如,“全体实数”和“一切集合的集合”这样的概念是不可理喻的;形式主义,代表人物是希尔伯特,其基本观点是“真理是相容(即不矛盾)的公理系统(的定理)”──这里看似没有“数形结合”的问题,其实,这是在更高层面或更抽象层次上的数形结合思想的真正体现──“形”总是直觉的,而“数”则离不开抽象。反之亦然,即数学直觉总是离不开“形”的影子,而数学抽象则更不能没有“数”的相伴──可谓现代数学创造的孵化器。
二、数形结合思想的思维意蕴
就上述数学发展史上的三次危机而言,我们可以发现其数形结合思想所蕴含的数学思维方式的转换。就第一次数学危机而言,主要是把数学由“经验科学”推进至“演绎科学”,由此“证明”进入到数学当中,尤其是反证法的引入。数学家G. H. 哈代曾就反证法给出过一个很好的隐喻:反证法(即归谬法)“是远比任何棋术更为优越的一种策略,棋手可以牺牲的只是几个棋子,而数学家可以牺牲的却是一(整)盘棋”。
就第二次数学危机而言,“微积分的产生是数学史上的分水岭或转折点。这个伟大发明产生的新数学明显地不同于从古希腊继承下来的旧数学。旧数学是静态的,而新数学是动态的。如果把旧数学比作摄影中的静画阶段,则新数学可比作动画阶段。此外,旧数学和新数学的关系就像解剖学和生理学一样;前者研究死的躯体,而后者研究活的身体。再有,旧数学只涉及固定的和有限的,而新数学却包含了变化的和无限的”──数学发展至变量数学时期──研究客观世界中各类事物的运动与变化。
就第三次数学危机而言,主要是把数学研究由实质公理系统化方法推进至形式公理化方法,由此“形式证明”大行其道于数学研究之各领域。然而,哥德尔等人的研究不仅揭示了“完全脱离”事物量的“形”之方面的局限,更判定了关于“事物量”的数学自身的不足或局限──譬如,任何一个数学分支学科都做不到完全的公理推演,而且没有一个数学分支学科可以保证自己没有内部矛盾──由此可见,数学不再是精确论证的顶峰,更不是真理的化身──不仅数学的“数”与“形”不能完全相互脱离而加以把握,而且也不能完全割裂“事物的质”而真正把握“事物的量”──真理不可能仅仅存在于人的理性当中,更有可能存在于人的理性与感性的交汇处或融通之时──这里有一个很好的隐喻能够说明这一点。
仅就自然数而言,如果我们把其间的诸如“2+3=5”这样的“真理”比喻为羊,而把诸如“2+3=6”这样的“谬误”比喻为狼,那么,试问:我们是否可以建构起这样的羊圈,它使得羊圈之内只有羊而无狼,羊圈之外只有狼而无羊呢?其实,哥德尔所证明的就是,如果我们能够建构起“圈内只有羊而无狼”的羊圈,那么肯定至少有一只“落入狼口”的羊,即在羊圈之外有羊;如果我们能够建构起“圈外没有羊只有狼”的羊圈,那么肯定至少有一只“披着羊皮”的狼在圈内,即羊圈之内有狼。由此可见,仅就自然数这么简单的数学对象(系统),我们甚至也无法真正、完全、整体地加以把握或掌控。
此外,笛卡尔和费马所创建的解析几何应该可以说是数学史上最能够体现“数形结合”思想所蕴含的思维方式。笛卡尔曾大胆设想,人世间的各种问题都可以转化为科学问题,而科学问题都可以转化为物理问题,物理问题又都可以转化为力学问题,力学问题又可以转为数学问题,数学问题都可以转化几何问题,几何问题又都可以(依据解析几何)转为代数之方程问题──由此,所有问题都得以解决。尽管我们没有也不可能完全实现笛卡尔的“伟大设想”,但是,由此“伟大设想”而导致的发现解密或发明创造却极大地推动了数学的发展和人类社会各项事业的进步。恩格斯曾明确指出:“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分立刻成为必要的了。”
三、数形结合思想的教学价值
数形结合思想的核心就是,数学的两大研究对象“形”与“数”之间的相互转化、相互表达和相互解决。而这种“相互转化、相互表达和相互解决”则是我们数学教学培育学生建立数学直观能力的重要方式。
就“数”与“形”的“相互转化”而言,我们可以通过“形”来加深对“数”的理解,也可以通过“数”来加深对“形”的理解。譬如,就“负数的初步认识”而言,我们可以通过温度计之“零上与零下”、东西或南北之“方位”、事物发展之“进退”等“形”(数轴)来帮助小学生理解负数之“相反量的意义”。再譬如,就“用数对确定位置”而言,我们可以用行与列、排与列、横排与竖排之“序数”等“数”(数对)来帮助小学生明确“二维平面”上点的位置。
就“数”与“形”的“相互表达”而言,我们可用“形”来表示“数”以把握“数量之间”的关系,也可用“数”来表示“形”以把握“形之属性”,加深相互之间的联系、沟通与理解。譬如,就“解决问题之‘倒推的策略’”而言,我们可以把事物或事件发展变化的过程“由始至终”地以“图”示意出来,问题便近乎解决:“由终至始”地逆推。但是,实际教学中,我们往往有过于关注其间的计算或忽视“示意图”的示意而非实意之倾向需要扭转或改正,否则极易造成学生对“倒推”之“事物发展变化之正序”依据的误解。再譬如,就“长方形和正方形的面积”而言,面积是平面图形的一个属性,但是,如何直观地感受或度量平面图形的面积,对小学生而言却是一个难题。我们可以通过引入(不同的)面积单位(其实就是数“1”),以帮助学生形成或强化其关于“平面图形的平面”的直观能力,为进一步推导长方形和正方形的面积公式做好铺垫。然而,实际教学中,我们往往过于注重公式本身的推导而淡化学生对“平面图形的面积”和“(不同)面积单位”的直观感受。这一现象亟须逆转或改正,否则极易促使学生形成“长方形或正方形的面积计算即‘数小正方形的个数’”的误读。
就“数”与“形”的“相互解决”而言,它是在“数”与“形”的相互转化与相互表达基础上完成的。譬如,就“时间的认识”而言,我们是通过客观世界中事物的发展变化(譬如,春生夏长、秋收冬藏)而直观地加以感受的(这里,既有事物的量之“形”,又有其量之“数”)。但是,我们在小学数学中却是通过“指针的旋转”及钟表之“面上的刻度”来帮助小学生认识和把握时间之长短、快慢的。其实,这就是“时间事物”的量之“形”与“数”的相互分离、相互转化、相互表达和相互解决,而最终促使我们把握其本质特征的一种思维方式──数形结合思想的关键。《课程标准(2011年版)》提出:“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”其实,这里有三层含义。首先是“以形助数”,形象、直观地实现“由数至形”的转化与表达;其次是在“以形助数”基础上,促使“以形解数”的完成,实现“形”与“数”之间的相互解决;第三是在“以形助数”和“以形解数”基础上,帮助学生形成“数形结合”之数学直观能力,以便其更好地理解、学习与应用数学。
 
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★基金项目:2011年度江苏省教育科学规划重大招标课题“基础教育课程改革重大理论与实践问题的深化研究”(A/2011/08)。


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