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估算的内涵及其教学表现

估算被作为基本的数学技能,始于20世纪70年代美国。20世纪90年代末,估算内容首次被引入我国小学数学教学大纲,2001年《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》和2011年《义务教育数学课程标准(2011年版》逐步加强估算内容和要求。在具体实施中,估算教学始终存在争议和较大偏差,“实际情况不容乐观”。[1]本文就估算的内涵及其教学表现试着进行厘清和阐述,以求教大方。
一、估算的内涵
1989年美国中小学课程学习与评价标准中,把“估算”专门列为一个标准,并对其重要性作如下阐述:“估算是数学学习和理解的一个方面,估算应运用于那些使用数量、测量、计算和问题解决的情形中,特别是通过估算判断结果的合理性。”桑德(Sowder)将估算分为计算估算、测量估算和数量估算。【2】关于估算的概念,Reys等人认为,估算是心算、数概念以及各种计算技巧的综合运用,是凭借心算快速地算出结果,而且此答案与正确的答案之间有合理性的接近。【3】我国学者司继伟认为,估算是个体未经过精确计算而借助原有知识,对问题提出粗略答案的一种估计形式,是心算、数概念和算式技巧之间相互作用的过程。【4】
比较国内外学者的观点,我们认为,估算是在计算、测量等具体活动中无法也没有必要进行精确计算的情况下,根据具体条件及有关知识对事物的数量、测量或算式的结果作出的大概推断或估计。完整的估算活动,应该是一个融入现实情境、激发学生的估算需求,继而根据数据进行便捷性运算并最终根据运算结果加以判断作出结论的过程。估算活动一般要经历三个阶段:第一步,理解题意,情境驱动估算意识;第二步,选择所需信息用合适的策略进行粗略计算;第三步,根据运算结果和情境目标指向进行推理判断,作出结论。
二、估算的教学表现
理解一个概念,不仅要从概念的内涵去建构,还可以通过与邻近概念比较去把握。下面从估算与精算,估算与近似计算,估算与估计、估测三方面进行比较、辨析,以探索估算的教学表现。
1.估算与精算。
(1)概念辨析:精算在本质上是对于数的运算,估算在本质上是对于数量的运算。
估算和精算是计算的两种基本方式。人们进行计算,如果需要精确结果,应选用精算,进行比较简单的计算,可以口算;进行较大数的计算,可以笔算或使用计算器。如果不需要精确结果,可以估算。在计算的本质上,“精算是对于数的运算,估算是对于数量的运算”。【5】数的运算核心内容是运算能力,精算关注基本运算技能的形成;数量都是有实际背景的,估算是解决实际问题的需要。在计算的依据上,精算主要是“依靠数字与数学运算符号,遵循一定的运算规则,按照一定的演算步骤”【6】进行计算,追求算法的程序化、简单化、机械化,强调运算结果的唯一性、精确性。估算更多地依赖于数的意义、计数单位及组成等方面的知识,通过“数的拆分”“数的近似值”等呈现出“计算策略中的灵活性与创造性”【7】,估算结果具有不唯一性、开放性。因此,估算既要依靠数感,也能培养数感。
估算与精算并不是非此即彼的关系,而是相辅相成的。在知识的教育价值方面,二者具有互补性。精算根据运算规律或运算法则进行推理演算,有利于培养学生的抽象能力;估算通过合情推理对事物本质进行直觉判断,具有较强的直觉性、跳跃性的特点,有利于培养学生的直观能力。抽象能力与直观能力是人们日常生活和生产实践中必不可少的两种能力,这两种能力都是数学素养的根本。所以,小学数学的教学内容不仅要有精算也要有估算。在知识的逻辑关联方面,二者具有互融性。一方面,良好的口算基础,是估算得以顺利进行的技术保障;另一方面,估算可以用来监控笔算结果的合理性(是否在正确结果范围内)。正是基于这种考虑,在数的运算学习中,教材一般按照“口算—估算—笔算”的逻辑顺序编排运算内容。
(2)教学表现:估算以合适的实际背景为载体。
日常生活和生产劳动中的实际问题,有时需要十分精确的得数,有时并不需要十分精确的得数,只要知道大约是多少就够了。估算与精算的概念辨析表明,估算学习必须依赖于问题情境的现实性。创设现实的问题情境,作为估算学习的出发点,引导学生在问题情境的对比中选择估算或精确计算,让学生体会到估算的必要性,有利于培养估算意识,这也是估算教学的根本要求。另外,在解决现实问题时,“纯粹从数学角度精确解答有时候不一定有现实意义,反而需要用符合现实情境的估算对精确解答进行‘矫正’,结合生活经验建立直观感知,提升经验,增加体验,也是估算学习的归宿。”【8】
(3)教学举例:估算教学片段(吴正宪)
(屏幕出示:青青同学和妈妈一起到超市购物的情境。)
师:同学们,你们也一定有过和爸爸妈妈一起购物的经历。青青和妈妈购了五种商品(屏幕出示五种商品及其价格)。妈妈的问题是带200元钱够不够?(屏幕出现收银员正将商品价格输入计算机的画面)我想让同学们讨论的问题是“在下列哪种情况下,使用估算比精确计算更有意义?”
当青青想确认200元钱是不是够用时;
当收银员将每种商品的价钱输入计算机时;
当青青被告知应付多少钱时;
……
估算意识的产生基础是数学的直觉。选取“购物”作为教学素材,使学生在具体的情境中辨别“近似数”和“准确数”,从而清晰地知道“估算”在什么时候用,“精算”又在什么时候用。这样,学生在自主选择何时估算何时精算的活动中,充分体会估算的用途,估算意识自然萌发。
2.估算与近似计算。
(1)概念辨析:估算不是精算以后的四舍五入。
估算与近似计算是两个不同的概念。从知识结构看,近似计算中有估算的成分,但近似计算并不等于估算。人们把较繁的、不能直接说出得数的算式,根据数的接近关系,转化成能够心算的算式,通过心算得到原来算式的结果大约是多少,或者大致在什么范围内,即为估算,这是近似计算的表征之一;除此之外,近似计算还表征为算出精确结果以后求近似值。显然,估算不等同于精算以后求近似值。容易看出,估算与近似计算既有联系也有区别,“从数学上看,估算必须有精确度的标准,没有精确度的估算是胡算、瞎算。只有附加精确度的近似计算,才是真正理解估算。” 【9】当然,小学里学习估算不可能正面提精确度,教材一般介绍四舍五入法、截尾法(缩小估)、进位法(放大估)等几种具体的估算方法,具体的方法里已经有精确度的要求。
(2)教学表现:估算强调对结果上、下界的把握。
对估算与近似计算的比较分析表明,估算是一种附加精确度的近似计算,许多估算问题是为了得到结果的上界或者下界。具体到估算教学中,一方面,需要对给定数量进行适当的放大或者缩小,然后凑整计算;另一方面,应引导学生用适当的方式解释算式的精确得数与估算得数的“距离”,用“不超过”“不低于”“至多”“至少”“左右”等词语描述估算的结果。
(3)教学举例:《义务教育数学课程标准(2011版)》例26教学分析。
李阿姨去商店购物,带了100元,她买了两袋面,每袋30.4元,又买了一块牛肉,用了19.4元,她还想买一条鱼,大一些的每条25.2元,小一些的每条15.8元。请帮助李阿姨估算一下,她带的钱够不够买小鱼?能不能买大鱼?
这个例子提出两个问题,核心都是估计100元购物后的剩余金额,但这两个问题中的估计方法有所不同。
“够不够买小鱼”可以这样思考:买一袋面不超过31元,买两袋面粉不超过62元;买牛肉不超过20元;总共不超过62+20=82(元)。因此,剩余的钱至少有100-82=18(元)。因为18>15.8,所以够买小鱼。
“能不能买大鱼”可以这样思考:买一袋面不低于30元,买两袋面粉不低于60元;买牛肉不低于19元;总共不低于60+19=79(元)。因此,剩余的钱至多有100-79=21(元)。因为21<25.2,所以不能买大鱼。
分析表明,前一个问题是估计所剩钱的下界,如果下界还能买就自然可以买;后一个问题是估计所剩钱的上界,如果上界不够买就自然不能买。估算的要旨是凑整计算,估计下界,凑整的数不能高于原来的数,合适的用语是“不低于”或“至少”;估计上界,凑整的数不能低于原来的数,合适的用语是“不超过”或“至多”。
3.估算与估计、估测。
(1)概念辨析:估算不同于估计和估测,估算是需要算的。
在小学数学里,估计一般指对数与数量的估计,估测一般指对长度、面积等几何量的估量,估算是指对计算结果的估计。估算与估计、估测都是凭借思维直觉,对结果进行推断,具有较强的直觉性、跳跃性和内隐化的特点。数量的估计、度量的估计能促进估算思想和方法的萌发。例如,5月1日~3日参观科学宫的人数分别是2030人、2940人、3026人,每天参观的人数各接近几千?这样的估计活动,能使学生感受非整千数与整千数的接近关系,从而体验精确数的数值,这是进行估算必须具备的知识基础。再比如,我们估测长度需要选择合适的度量单位,也为估算提供方法准备和思想铺垫。估算尽管与估计、估测有密切联系,但它们并不完全相同,估算是需要计算的。
(2)教学表现:估算突出对数量单位的选择。
“估算常常涉及在哪个数位上进行计算的问题,需要在计算之前针对实际背景选择合理的数量单位。”“选择数量单位的过程可以让学生感悟估算是对现实问题的度量,进而感悟如何进行估算才是合理的。”“确定数量单位后,在具体计算时,就可以在单位的整数位上进行估算。”【10】[  如图,抽出的5袋蒜头质量都比较接近30千克,可以选用“30千克”作数量单位,进而估算王大伯家共收蒜头60×30=1800(千克)。
(3)教学举例:五年级上册“多边形的面积”单元思考题分析。
不规则图形的面积一般采用直接测量,即先选择用来估测的“单位”,再用单位面积去摆。为了刻画不规则图形面积的精确度,估测时,可以先数出曲线所围成图形内包含的完整“单位”的个数,算出图形的面积最小是多少(下界);再把图形边缘接触到的“单位”当成完整的“单位”,算出图形的面积最大是多少(上界),
由此确定曲线所围成图形面积的取值范围(精确度)。估测荷叶的面积,三个图形中选择的“单位”分别是(8×8)平方厘米、(4×4)平方厘米、(2×2)平方厘米。按照上面的方法,左边正方形中荷叶的面积在256~1024平方厘米之间,中间正方形中荷叶的面积在496~944平方厘米之间,右边正方形中荷叶的面积在616~832平方厘米之间。学生通过操作、计算、比较,不难发现,把大正方形划分得越细,即选择的“单位”越小,估测结果的上界与下界越接近(误差越小);进而,如果把大正方形无限分割,估测结果就会越来越接近荷叶的精确面积。“选择合适的估计‘单位’是进行有效估算的关键”,在学生经历“寻找取值区间”的过程之后,必将作为一种数学活动经验沉淀下来。特别是,学生在对“将大正方形等分成更小的方格,估计值更逼近准确值”的感悟中,极限思想的渗透“像呼吸一样自然。”
综上,创设现实情境是估算的载体,它支撑估算活动的起点和终点;强调对结果上下界的把握是估算的核心,它使得估算过程具有数学意义;突出对数量单位的选择是估算的关键,它利于学生感悟估算方法的合理性。如此,估算教学方能凸显内在特质,实现从以往被定位于计算向解决问题华丽转身。
 
参考文献:
[1][2][8]秦德生.美国中小学“估算”课程设计及其启示[J].外国中小学教育,2013(12).
[3]孙卫红,陈朝东.中国数学课程标准对估算要求的变化探析[J].数学教育学报,2013(5).
[4]司继伟,张庆林.估算:来自心理学的心声[J].心理科学,2002,25(2).
[5][10]史宁中.基本概念与运算法则[M].北京:高等教育出版社,2014.
[6]董奇.估算能力与精算能力:脑与认知科学的研究成果及其对数学教育的启示[J].教育研究,2002(5)
[7][英]朱莉娅.安吉莱瑞.如何培养学生的数感[M].徐文彬译.北京:北京师范大学出版社,2007.
[9]张奠宙.小学数学中若干科学性问题的探讨[J].小学数学,2011(1下).


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