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都是张数惹得“祸”──也谈《烙饼问题》

一、问题提出
“五段式”教研活动走进了濉溪路小学,做课的董辉老师带来一节《烙饼问题》,引起与会老师的激烈讨论。
问题情境:小红的妈妈在厨房里烙饼,这口平底锅每次只能烙2 张饼,两面都要烙,每面3 分钟,小红和爸爸、妈妈各吃一张饼,怎样才能让他们尽快吃上饼?
焦点之一:在探究烙3张饼所需时间时,绝大部分学生认为所需时间是12分,给出理由也“相当充分”——每张锅只能烙2张(需6分钟),剩下1张再烙(需6分钟),一共是12分钟;部分老师认为,根据学生的生活经验和认知特点,甚至会出现无一人知道烙3张饼最短时间是9分钟。如果出现这些情况,执教老师该如何应对?
焦点之二:学生在老师的“帮扶”下,通过实验、分析、推理、归纳等一系列的数学活动总结出烙饼问题的数学模型(也可以说是公式):
            饼的张数×3=所需的时间
试问一下:学生真正理解这个模型的含义了吗,能不能准确地表述出烙饼的过程(尤其是3张饼的情况)?谁也不能给出肯定的答案。
焦点三:如果一张锅能烙3张、4张、5张、…,又该如何去烙?有没有规律可循,模型建立?做课的董老师在试教时,也做了大量的有益的尝试,效果也不是很明显。与会的老师们也鲜见有讨论类似情况的课例,也不禁会产生疑问:是不是讨论一张锅能烙3张、4张、5张、…的情况没有任何数学价值,其背后的真正原因又是什么?
针对上述问题,可谓是仁者见仁,智者见智。在这里,笔者也苦思良久,总感觉是饼的张数“惹得祸”,如果我们从“饼的面数”入手,教学效果可能会峰回路转,柳暗花明。
二、解决对策
《烙饼问题》不妨考虑从面数入手,这比张数更本质。与其说烙的是张数,不如说烙的是面数更为直接、更为本质,学生也能够理解和接受。教师在出示问题并让学生读取数学信息的时候,不仅指出每次烙2张饼,更要进一步地强调每次烙的是2个面,而且只能烙2个面,让学生在头脑中留下“烙面数”印象,为解决烙3张饼问题埋下伏笔。接着教师顺势引导学生理解烙3张饼其实就是烙6个不同的面,而起每次只能烙2个面,从而很容易得出:烙3张饼的时间是,6÷2×3=9(分钟)。
当学生真正理解——烙饼的本质就是烙的面数,而且每次只烙2个不同的面——的时候,便水到渠成地掌握烙3张饼的过程,并能清楚地表述出来。比如,学生会把3张饼的6个面进行标识(像A1、A2;B1、B2;C1,C2之类),并在保证不能取同一张饼两个面的情况下,两两组合即把3张饼烙熟,这也是烙3张饼的最佳方法。当烙的饼数为:4张、5张、6张、…时,教师还应该引导学生从面数考虑,先计算出总面数,再除以2(每次可烙的面数),再乘3(每次烙的时间),便求出所需的最短时间。数学模型也随即建立起来:
       总面数÷2×3=所需的时间,
又因为“总面数=饼的张数×2”,所以就有
       饼的张数×3=所需的时间。
总之,学生理解这个模型的真正含义后,就能很快计算出烙饼所需的时间( 总面数÷2×3),再动手操作验证或语言表述过程都会显得那么轻松流畅。
学生一旦把握住烙饼的本质——就是烙饼的面数,当我们改变烙饼的形式时——每张锅最多可烙3张饼、4张饼、5张饼等等,学生也能发现规律,推导归纳出相应的数学模型,即
 总面数÷每次可烙的面数×每次烙的时间=所需的时间,
( 用字母表示:M ÷ m × t = T )
当m=2时,就是每张锅烙2张饼的情况,无论饼的张数是单,是双,面数M总是双数,M ÷ 2等于整数,也就是说锅总能被充分利用,也就存在最优化策略。当m=3、4、5、…时,M ÷ m结果是有余数的,锅就不能保证被充分利用,就不存在节省时间,节约成本的最优化问题,这也许是我们不去讨论一张锅能烙3张饼、4张饼、5张饼、…的真正原因吧。
另辟蹊径,总能柳暗花明。如果我们试着从面数去探究烙饼问题,改变一下教学思路,重新设计教学过程,如何引导让学生从面数去考虑烙饼问题,如何将一张锅可烙2张饼、3张饼、…进行有效整合去发现规律,带着这些问题再去课堂实践,或许会出现令人耳目一新的教学景象呢?我想这也是一件非常有意义的事,值得一试。
三、一点感想
把握数学的本质,通晓它的变化形式,我们的数学课堂才会充满智慧和灵动——这也是本节课给我的最大感触和收获。
还是从烙饼问题谈起。无论每张锅可烙2张、3张、4张、…,还是用一张锅去烙不同数量的饼,变化的是每张锅可烙饼的张数或同一锅中饼的不同名称,不变的是每次可烙的面数和要烙不同的面。变得是形式,不变的是本质。
从最优化的角度来看,《烙饼问题》和《打电话问题》在本质上也是一致的。一个是保证锅不能空着,一个是保证人不能闲着,都是最大限度地利用时间,利用成本,这也是解决问题的关键所在。
从余数理论的角度来看,《烙饼问题》与《找次品》、《抢数》在原理上也是相通的,都是按余数分类讨论。
《烙饼问题》在解决一张锅只能烙2张饼时,用饼数除以2,余数是1或0。余数是0时,饼数为双数,2张2张地烙,所需时间最短;余数是1时,饼数为单数,2张2张地烙,剩下3张按最佳方法烙,所需时间最短。
《找次品》先把物品尽量3等分,使得最多的一份和最少的一份相差1。任何数除以3,余数是2或1或0。物品数除以3,余0时,平均分成3份;余1时,最多的一份和最少的一份相差1;余2时,把2均分到其中2份,使得最多的一份和最少的一份也相差1。
《抢数》不妨以抢3为例,规则:两人从1开始轮流往后报数,每次至少报1个数,最多报2个数,谁先抢到指定数谁赢。这里运用余数理论,掌握获胜策略。数据的个数除以3,余数是2或1或0。余数为0时,后报者必胜;余数为1或2时,先报完余数者,获胜。
正如天津特级教师张菁所说:“数学是一个动态的、充满生机的生命体,尽管它的形式是变化多样的,但富于变化的形中却蕴含了相通的质。” 
在立足教材,关注课堂的时候,我们善于抓住数学知识和方法的本质联系,将数学知识系统化,以达到对数学的统一的认识,使知识融会贯通,这样我们才能在教学的道路上不会迷失方向,才能渐行渐远。
以上只是我个人浅显的看法,甚至是不成熟的,在这里恳请专家和同仁们不吝赐教。


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