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数学广角《鸡兔同笼》教学思考

    今天(9月25日)上午,在塔洋中心学校多媒体教室,听完实验小学翁昌龙老师针对人教版六年级上册《鸡兔同笼》一课做备课发言后,我感触很深。 “鸡兔同笼”作为一种经典名题,在国标新教材中,不少版本都有编排。比如,北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举;苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略;而人教版则是浓墨重彩,在六年级上册“数学广角”中用6个页码详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。除此之外,还有名师在二年级用“画图法”、在六年级用“二元一次方程组”来生动地演绎它。下面,就结合本次活动和人教版十一册数学广角《鸡兔同笼》一课,谈谈自己的一些感悟:
       “鸡兔同笼”是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔?
         古人解答“鸡兔同笼”的方法主要是假设法,于是,假设法也成为了解答“鸡兔同笼”的主要方法。发展至今,“鸡兔同笼”已经成为了一类问题的代名词,称为“鸡兔同笼”问题。人教版实验教材小学数学六(上)的数学广角就选用了“鸡兔同笼”问题。针对这一内容,《教师用书》上对这个编排是这样说明的:一方面可以培养学生的逻辑推理能力;另一方面使学生体会代数方法的一般性。对这个内容的编排特点是这样阐述的:1. 由《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题引入,激发学生的解题兴趣。2. 注重体现解决“鸡兔同笼”问题的不同思路和方法。3. 拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识,明确其在生活中的应用。
        按理说,教师用书上有如此清晰的说明,那么本课的教学应该是没什么争议,有一个统一的教学结构。然而实际却并非我们想象的那样。据了解,目前六年级教学“鸡兔同笼”问题的方法是大相径庭,主要有以下几种课型结构:
1.几种方法一起教的。
       这种课现在较为多见。在我们参加的几次教学研究展示活动中,几乎都是这样的课型。其中以列表、假设法和方程三种方法一起教学居多,且这样的教学安排,也是广大教师在日常教学中所普遍采用的方法。与一线教师交流这样安排的理由,他们认为:列表可以让那些学习能力相对较弱的学生有一个解题的模型,使他们也能较好地解答“鸡兔同笼”问题。而假设法和方程则可以让那些学习较好的学生根据自己的喜好选择使用。这样就可以实现“全面掌握”的目标。
       除了这样的安排之外,也有在课堂上专门教学假设法和方程的。这样做的老师认为:列表太低级了,六年级的学生应该可以理解假设法和方程的,至少可以掌握其中的一种方法,因此在课堂上只要重点教学这两种方法就可以了。
2.专门教一种方法的。
       在一些活动中,也有只教学一种方法的。这样做的老师认为:在一堂课40分钟中,既要教学列表,又要教学假设法,还要教学方程,到最后往往是一样都没有吃透。与其如此,不如在课堂上就教学一种方法,并把这种方法放大,教透。其中,以专门教学假设法的居多。对此,他们又认为:假设法是解答“鸡兔同笼”问题的主要方法,因此选用假设法是名正言顺了的事情。另外还有一个原因,如果以方程为主要方法,那么除了问题本身之外,在计算层面上还要面对一个新的问题——如何解“鸡兔同笼”问题的方程,因为“鸡兔同笼”问题的方程明显高于小学阶段方程教学的要求。如果这样理解,那么选择假设法就显得更为合理了。
3.将学生置于一种“已会”状态的。
      在一次大型赛课活动中,一位执教了“鸡兔同笼”问题。这位老师则将学生置于了一种“已会”的状态,具体做法是:呈现“鸡兔同笼”的典型问题,学生独立解答,反馈交流学生的方法,有假设法、方程、枚举等,在让学生解释自己的方法的同时,教师进行简单地引导,最后通过对比,让学生感悟假设法的优点,就算完成了“鸡兔同笼”问题解法的教学。教师虽然没有明说要用假设法解题,但在无形中还是体现着以假设法为主的思想。
       好好分析一下上面的几种课型,虽然出现了与《教师用书》不相吻合的情况,但其做法都是有道理的,都有自己对“鸡兔同笼”问题教学的理解。那么就给我们带来了一个困惑:
六年级到底该怎么教学“鸡兔同笼”问题?
     为了解决这个困惑,我们尝试从以下两个方面进行了思考:
1.“鸡兔同笼”问题到底要让学生学会的是什么?
      在上面说到的几种课型中,出现了解答“鸡兔同笼”问题的几种基本方法:假设法、方程法、列表法、枚举法和画图法。我们想象一下,在学生还不曾接触过“鸡兔同笼”问题的前提下,让学生尝试解答“鸡兔同笼”问题,他们会出现哪些方法呢?对此,我们不敢断言。但我们对此做了一些调查,说明一些问题。
       我们在六年级还没有教学“鸡兔同笼”问题之前,选择一个班45人让他们尝试解答书本的例题。以下是调查的题目和问题:
        题目:笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚。笼子里有鸡和兔各几只?
问题:
1.像上面这样的问题我们一般称为(            )问题。(不知道可以不填)
2.这个名称你大概在(   )年级时知道的。是怎么知道的?(如果第1题没填,这题可以不做)
3.你有什么办法可以把上面的题目解答出来?(把你的方法写下来,列式,画图,文字说明都可以,写一种自己最喜欢的方法)
      结果在被测的45人中,有15人不知道“鸡兔同笼”这个名称,不难想象,他们应该未曾接触过“鸡兔同笼”问题。在这15人中,有9人解答正确。在解答正确的9人,没有人用假设法、列表法和画图法,有8人用了枚举法,1人用了方程。
      从结果上看,学生最容易想到的是枚举,这是符合常理的。在不知道具体怎么算的情况下,只能一个一个试过去。其次想到的是方程,这也是正常的。学生在五年级已经学习了简易方程,对等式基本性质理解好的学生,是可以解答“鸡兔同笼”问题的方程的。
      这里需要重点分析一下学生没有出现的三种方法:画图法、假设法和列表法。
       学生没有出现画图法,这个很好理解。六年级的学生,思维能力已经到了一定的层次,对于画图要实现的直观形象,他们完全可以在脑海中想象,或是接触数据来抽象表示。用数据来抽象表示,其实就是枚举法。因此不出现画图法是很正常的,实际已被枚举替代。
       不出现假设法和列表法,也是可以理解的。列表法是从全部假设成鸡或全部假设成兔开始一个一个推算的,假设法也是利用全部假设是鸡或兔来思考推理的。从这个思维层面上讲,这两种方法具有一个共同的特征:全部想成鸡或兔。所以,列表其实也是假设法的一种表现形式,假设法可以看成是对列表法的进一步抽象和提升。基于这样的分析,我们可以发现,如果学生能使用假设法或列表法,那么他们首先要实现一个思维上的飞跃:全部想成鸡或兔。而让一个未曾接触过“鸡兔同笼”的学生独立来实现这样的思维跳飞,显然是有一定难度的。这是因为学生的思维受到了题目语句“笼子里有若干只鸡和兔”的束缚。
        通过上面的调查我们可以发现,枚举法是学生解决“鸡兔同笼”问题的“土方”,是不用教学的。画图法对于六年级的学生而言,确实过于低级了,已经被枚举法淘汰了。而方程法,难点不在理解等量关系上,而是如何解方程,这显然不符合“鸡兔同笼”问题教学的本质。那么,方法就只能落在假设法和列表法上了。而前文已有分析,列表法可以看成是假设法的一种表现形式,假设法可以看成的对列表法的进一步抽象和提升。于是我们又可以做进一步分析:如果已经完成列表法,那么引导学生对表格进行分析和推理,假设法已经是水到渠成的事了。
       结合上面分析,我们提出这样的教学设想:教学“鸡兔同笼”问题,最主要的教学目标应该是借助列表让学生学会假设法。最大的价值是借助假设法,帮助学生实现“全部想成鸡或兔”的思维飞跃,在发展学生的推理能力同时,形成一种解决“鸡兔同笼” 问题类型的思维方法。
2.六年级怎么教学假设法?
      说起假设法,我们先来进一步认识一下它。
      “假设法”是科学研究中常用的一种思维方法,也是解决数学问题的一种重要策略。它是指根据题目中的已知条件或结论作出某种假设,使复杂的情境简单化,隐蔽的数量关系明朗化,使问题较为容易地得到解决。使用“假设法”要注意两点:一,假设要符合题意,要找准与假设内容相对应的数量关系;二,假设要周密,要善于把假定的内容和数据加以调整,从而得到正确的答案。
       用假设法解决的数学问题有很多,“鸡兔同笼”问题只是用假设法解决的诸多问题中的一类,其方法特征主要表现为全部假设成A或B。这个特征具体体现在“鸡兔同笼”问题教学中,那就是四个步骤:假设——计算——推理——解答。
       根据上述分析,假设法教学的思路应该已经非常清晰了,即围绕“假设——计算——推理——解答”这四个步骤展开。同时我们可以想象,推理应该是学生学习时的难点,只要注意引导就可以了。但是因为“鸡兔同笼”问题安排在六年级,所以不得不考虑一个新的问题:六年级学生对“鸡兔同笼”问题已经知道多少?
       产生这个疑惑是很正常的,并且六年级学生知道“鸡兔同笼”问题也是很正常的。因为开头已有说明,“鸡兔同笼”是中国趣题之一,“鸡兔同笼”这个名词在中国夸张的说可谓“妇孺皆知”,而问题的解决方法,很多家长可能早就与孩子讲过,学生也可以通过很多渠道了解甚至是掌握这方面的知识。正因为如此,就给六年级教学“鸡兔同笼”问题带来了新的挑战。
      那么学生的知道程度到底怎么样呢?我们还要回到前面所说的调查。
      在被测的45人中,有30人知道“鸡兔同笼”这个名称。在知道名称的30人中,有25人正确解答了题目,其中有15人使用假设法解答,7人通过举例解答,画图和列方程的各有2人,还有1人运用了教材介绍的“抬腿法”。在不知道名称的15人中,也有9人解答正确。总体而言,在还没有教学“鸡兔同笼”问题之前,45人中已经有34人可以解答“鸡兔同笼”的典型问题了。
        通过这些数据我们可以推想,如果六年级还是以典型的“鸡兔同笼”问题切入,那么势必会给假设法的教学带来一定的困难,主要是一部分“已会”学生的思维将会处于停滞状态。并且可能会因为他们的原因,降低问题对学生思维的挑战性,致使教学成为一种“变相”传授(学生传授给学生)。
        以上是我的一些粗略见解,请大家多多指教!谢谢!


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