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数学广角:《鸡兔同笼》教案

一、创设情境,引出问题
1、师:我们伟大祖国具有五千年的文明史,在历史的长河中,为科学知识的创新和发展作出了巨大贡献,尤其在数学领域有《九章算术》、《孙子算经》等古代名著流传于世,如一千五百年前的数学名著《孙子算经》中的“雉兔同笼”问题,漂洋过海传到日本等国,对中国古文明史的传播起很大的作用。
2、出示原题:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?
师:你能说说这道题是什么意思吗?(说明:雉指鸡)
出示:笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚,鸡和兔各有几只?
3、揭示课题:这就是我们今天要研究的问题“鸡兔同笼”的问题。(板书课题)
二、自主探索,解决问题
1、师:为了便于同学们用多种方法探究问题,我们先来研究一道数据较小的“鸡兔同笼”的问题。
出示例1:笼子里有若干只鸡兔。从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚,鸡和兔各有几只?
2、理解题意,学生先读题,再分析题意,并从题中找出两个数量关系式。
师:请大家自由读题,你都知道了什么?
(1)鸡和兔一共有8个头。鸡兔一共有26条腿。求分别有几只?
师:还有补充吗?有两个隐藏条件看谁细心发现了?。
(2)鸡有2条腿,兔子有4条腿。
师评:他还发现了隐藏条件,审题真细心。
3、尝试猜想法
师:刚才大家说鸡和兔的头共有8个,咱们就来猜一猜鸡和兔各有几只,好吗?(学生猜)
师:到底谁猜对了呢?我们来验证一下。(师生算出脚的只数)
4、尝试列表法
(1)、师:其实大家刚才的猜想可以按照一定的顺序猜的。
出示:列表法:

鸡的只数

8

7

6

5

4

3

2

1

0

兔的只数

0

1

2

3

4

5

6

7

8

共有腿数

16

18

20

22

24

26

28

30

32


师:观察这个表格,你发现了什么?
(因为鸡和兔的只数是固定的,每增加一只兔子减少一只鸡,腿的总只数就增加2。反之依然。)
师:“像你们这样,采用列表的方法,不重复、不遗漏的写出所有可能的答案。这种逐一列举的方法在数学中也称为“枚举法”
5、假设法
(1)、观察第一列,问:8和0是什么意思?(假设笼子里全是鸡)这样共有几只脚?(用箭头指向第六列)这样少算了多少只脚?把谁的脚少算了?每只兔少算了几只脚?有几只兔呢?也就是说少算了的脚的只数除以每只兔少算的2只就得到兔的只数,对吧?那又有几只鸡呢?
师:你能把我们刚才说的过程用算式表示出来吗?(学生列式,指名板演)引导学生检验。
板书:假设全都是鸡:2×8=16(条)26-16=10(条) 10÷2=5(只)……兔子
8-5=3(只)……鸡  
兔(26-8×2)÷(4-2)=5(只)鸡8-5=3(只)
课件演示,加深理解。
(2)、观察第九列,问:0和8又是什么意思呢?(假设笼子里全是兔)这样共有几只脚呢?这样多算了几只脚?把谁的脚多算了?每只鸡多算了几只脚?有几只鸡呢?是怎么求出来的呢?那又有几只兔呢?你能根据这种假设列出算式吗?(学生列式,指名板演)
引导学生说出假设都是兔,8×4=32(条)  32-26=6(条)6÷(4-2)=3鸡
8-3=5(只)兔      综合算式  鸡(8×4-26)÷(4-2)=3(只)兔:8-3=5(只)课件演示,加深理解。
(3)师:你能给这两种方法取个名字吗?(假设法)
6、尝试代数法
师:你还可以用别的方法吗?(方程解法)
学生独立完成,集体订正时要求学生检验。
解:设鸡有X只,兔有8-X只
2×X+(8-X)*4=26
师:谁来解释这个方程表示什么意思?他用的是什么数量关系式。
生:鸡脚的只数+兔脚的只数=脚的总只数。
师:解释的真清楚。听懂的同学再来解释一下。
师:明白了的同学请举手。感谢这位同学带给我们一种思路简单,一听都能明白的方法。
师:刚才是设鸡为X只,现在设兔为X只,请大家列出方程不计算。
师:谁来说?
生:4X+(8-X)*2=26
师:有谁知道他的方程用的是什么数量关系式。
师:解题思路的确简单。这就是“列方程”法板书。
6、小结交流,归纳方法
师:今天我们解决了一个什么问题?刚才我们在解决“鸡兔同笼”的问题时,用到了哪些方法?比较这些方法,你喜欢用哪种方法?为什么?你认为哪种方法一般都能适用?
师小结:解决这类问题的方法很多,用猜测、列表法可以解决问题,但当数据较大时,过程就很繁琐了。假设法和方程法就具有一般性,不管是数据较大时或数据较小时都可用到这两种方法。
三、应用方法,解决问题
1、师:你能用假设法或者是方程法来解答“孙子算经”里的问题吗?(交流订正,学生介绍自己的算法)
2、巩固练习
(1)第115页第1题:“龟鹤”问题
(2)第115页第2题:“租船”问题
(3)第117页第7题:“植树”问题
3、介绍古代鸡兔问题
  (1)、分析解题思路
   师:那你知道早在一千五百年前的古人又是怎么解决鸡兔同笼问题的?请看书P114自学。
  师:谁能看懂古代人的方法。
  生:先抬起一半的脚。剩下一半的脚。
  师:此时,一只鸡一只脚,一只兔多了一只脚。多了12只脚就有12只兔。算式是26÷2-8=5(只)8-5=3(只)
师:古代人的方法:脚数÷2-头数=兔数    头数-兔数=鸡数
   (2)、 应用。
   师:你想试试古人的方法吗?请解决例题。可真快哦。报算式。大家同意吗?
   师:你们有什么想说的吗?(简单。师:是比较简单)
   师:你还想试试吗?(想)来解答第117页的第二题。谁来说。
   师:怎么结果不一致呢?(生自由说)
   师:看来,古人的这种方法还不太完善。具有局限性。适合解决鸡兔问题。师:而假设法和列方程具有普遍性和一般性。
   师:为什么不能用,有兴趣的同学可以课外去尝试研究。
   师:用古人方法是否都能解决鸡兔同笼问题和相似的数学问题呢!有兴趣可以回家思考。
四、汇报交流,总结归纳
1、通过本课的学习,你有什么收获?你有什么体会?
生1:知道了数学是一门古老的学科,我们的祖先能用浅显的数学知识解决一些实际问题,说明他们勤劳而聪明……在我国悠久的历史中,数学在古代曾文明于世界,作为炎黄子孙应感到骄傲,也激发我们为祖国的日益强大而努力学习。
生2:掌握列方程解古代数学问题时的一般步骤和方法。
师:同学们,这节课我们研究了鸡兔同笼问题,大家积极动脑、大胆发言,用不同方法解答了同一个问题,表现得非常的优秀。其实,生活中像“鸡兔同笼”的情况是很少的,我们重在掌握其中的数学思想、方法来帮助我们解决类似的问题。
(五)拓展提高。
1.一队猎人一队狗,两队排着一起走,数头一共三百六,数脚一共八百九,多少猎手多少狗?
2、100个和尚吃100个馒头。大和尚一人吃3个,小和尚3人吃一个。大、小和尚各多少人?
六、板书设计:
数学广角鸡兔同笼
   列举法         假设法                     列方程
  7  1   18      假设全是兔       解:设兔的只数是X只,鸡是(8-X)只
教学内容:人教版课程标准实验教科书六年级上册第112—115页内容。
教学目标:
1、了解“鸡兔同笼”问题,感受古代数学问题的趣味性.
2、尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题,并使学生体会代数方法的一般性。
3、在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力。
教学重点:尝试用不同的方法解决鸡兔同笼问题,使学生理解并掌握“鸡兔同笼”问题的解题方法。
教学难点:对“假设法”的理解和应用


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